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202026年高联二试（A卷）几何题的解答
1. 题目 如图，在锐角三角形 ABCABCABC 中，AB
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022026年CNMO的几何题的解答（一）
1. 题目 如图，已知 △ABC\triangle ABC△ABC 的外接圆、内切圆分别为 ⊙O\odot O⊙O、⊙I\odot I⊙I，⊙I\odot I⊙I 与边 BCBCBC、CACACA、ABABAB 分别切于点 DDD、EEE、FFF。过点 DDD 作 DS⊥EFDS\perp EFDS⊥EF 于点 SSS。若 ⊙O\odot O⊙O 与以 AIAIAI 为直径的圆的第二个交点为 TTT，证明：TTT、SSS、III 三点共线。 2. 解法一：同一法+配极 设 S′=EF‾∩TI‾S'=\overline{EF}\cap\overline{TI}S′=EF∩TI，Q=AT‾∩BC‾Q=\overline{AT}\cap\…
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032026年CSMO的几何题的解答（二）
1. 题目 如图，在锐角 △ABC\triangle ABC△ABC 中，AB>BC>ACAB > BC > ACAB>BC>AC，OOO 为外心，HHH 为垂心。设直线 AOAOAO 分别与直线 BHBHBH、CHCHCH 交于点 DDD、EEE，记 △DEH\triangle DEH△DEH 的外心为 O1O_1O1，线段 AO1AO_1AO1 上一点 TTT 满足 BBB、TTT、HHH、CCC 四点共圆，BCBCBC 延长线上一点 SSS 满足 SA=STSA=STSA=ST。 证明：∠STH=∠OAO1\angle STH = \angle OAO_1∠STH=∠OAO1。 2.…
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042026年CSMO的几何题的解答（一）
1. 题目 如图，在 △ABC\triangle ABC△ABC 中，AB1\lambda > 1λ>1，则由中线长公式和角平分线长公式可知： 2c2+2m2=4λ2m2+4d22b2+2n2=4λ2n2+4d2d2=λ2mn−mn \begin{aligned} 2c^2 + 2m^2 & = 4\lambda ^2 m^2 + 4d^2 \\ 2b^2 + 2n^2 & = 4\lambda ^2 n^2 + 4d^2 \\ d^2 & = \lambda ^2 mn - mn \end{aligned}2c2+2m22b2+2n2d2=4λ2m2+4d2=4λ2n2+4d2=λ2mn−mn…
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05关于新课标初中数学教材的评价
看到了「全国小学、初中阶段将完成新教材的全部替换」的新闻，正好来看一下新课标（2022版）教材的变化。 人教版初中数学的教材距离上一次改版（2013版）确实很久远了，也的确很有改的必要。 由于「国家中小学智慧教育平台」上还没有上线九下的新版教材，这里的比较只包含前五本。 整体来看，教学内容基本没变，主要是优化了章节编排和学习顺序，例题和习题数量也明显增加。 在旧版的教材中，很多知识点在讲完之后并没有专门对应的例题和习题，这一点作为教材来说非常不合格。 新版则补充了很多。 1. 内容优化 新版的教材更重视基础概念。在旧版教材中，很多概念都没有单独的章节，而是和性质放在同一节里，新版教材则是大都单独列出，例如： 「有理数」和「有理数的计…
阅读全文2026年CWMI的几何题的解答（二）
1. 题目 如图，锐角 △ABC\triangle ABC△ABC 的垂心为 HHH，BDBDBD、CECECE 是高。设 △ABC\triangle ABC△ABC 内的一点 PPP 在 △BHC\triangle BHC△BHC 的外接圆上，直线 BPBPBP 与 ACACAC 交于点 QQQ，直线 CPCPCP 与 ABABAB 交于点 RRR。求证：DEDEDE 平分线段 QRQRQR。 2. 分析 这个题目一眼看过去，就和所谓的「Humpty点」（或「HM点」）相关： 我们作 △ABC\triangle ABC△ABC 的中线 AMAMAM，交 △BHC\triangle BHC△BHC 的外接圆（记为 Γ\GammaΓ）…
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072026年CWMI的几何题的解答（一）
1. 题目 如图，过圆 ω\omegaω 上一点 AAA 作切线 lll，在 lll 上取关于 AAA 对称的两点 A′A'A′、A′′A''A′′。过 A′A'A′ 作 ω\omegaω 的一条割线与 ω\omegaω 交于 PPP、QQQ，过 A′′A''A′′ 作 ω\omegaω 的一条割线与 ω\omegaω 交于 SSS、TTT。过 AAA 作 PQPQPQ、STSTST 的平行线，分别与 ω\omegaω 再次交于点 XXX、YYY。设 MMM 是 QSQSQS 的中点，求证：AMAMAM、QYQYQY、SXSXSX 三线共点。 2. 分析 这个题要证明的是三线共点，如果能够想到使用角元塞瓦定理来证明，剩下的倒角就是t…
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082026年CGMO的几何题的解答
1. 题目 如图，在 △ABC\triangle ABC△ABC 中，∠BAC>90∘\angle BAC>90^\circ∠BAC>90∘，DDD 是 AAA 关于 BCBCBC 的对称点。点 PPP 在 ABABAB 的延长线上，∠ACP\angle ACP∠ACP 的平分线交 ABABAB 于点 XXX。边 BCBCBC 上的点 QQQ 满足 ∠XQB+∠AXC=90∘\angle XQB + \angle AXC = 90^\circ∠XQB+∠AXC=90∘。求证：∠PDQ+∠BAC=180∘\angle PDQ + \angle BAC = 180^\circ∠PDQ+∠BAC=180∘。 2. 分析…
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092026 年 IMO 的几何题的解答
1. 题目 在三角形 ABCABCABC 中，点 MMM 和 NNN 分别是边 ABABAB 和 ACACAC 的中点。在三角形 BMCBMCBMC 和三角形 BNCBNCBNC 的内部分别选取点 KKK 和 LLL，使得点 KKK 在三角形 ABLABLABL 的内部，点 LLL 在三角形 AKCAKCAKC 的内部。已知 ∠KBA=∠ACL,∠LBK=∠LNC,且∠LCK=∠BMK. \angle KBA = \angle ACL, \qquad \angle LBK = \angle LNC, \qquad \text{且} \qquad \angle LCK = \angle BMK.∠KBA=∠ACL,∠LBK=∠LNC,…
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10本地部署Gemma4-26B-A4B模型
1. 前情提要 之前我在本地部署了Hy-MT2翻译模型，效果非常好，现在已经是我主力使用的翻译引擎了。 于是，我想再尝试一下如今本地能够部署的大模型的能力。 之前在Qwen2.5和DeepSeek-R1的时代都曾经尝试过本地部署，但是10B以内的模型效果不太满意，10B以上的模型速度太慢，20B以上基本就是在跳字，每次都是试过几下就放弃了。 这次先尝试了Qwen3.5-9B及它的一些微调版（包括OmniCoder-9B和Qwopus3.5-9B），效果只能说非常勉强，完全没法吸引我去用它们。 我当然知道Qwen3.6-27B和Qwen3.6-35B-A3B非常好用，但是无奈这两个模型都太大了。强行使用的话速度太慢了。 前段时间在hu…
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11不间断空格的处理方法
最近在处理文本的时候多次遇到不间断空格，开始没有注意，后来造成了不小的麻烦。这里记录一下它的处理方法。 1. 定义 不间断空格，或称不换行空格，Unicode代码为U+00A0，用来避免一些内容因为换行而分开。 例如，如果在3 cm之间使用空格，可能会导致在换行的时候把数字和单位分开，这时可以在中间使用不间断空格，就能保证即使在换行的位置也不会被分在两行。 2. 查找方法 不间断空格在一些软件中会有明确的标记： Word：打开「显示编辑标记」，会渲染为°。 Neovim：会渲染为+。 也可以使用十六进制显示来查找： 1 hexdump -C file.txt | grep 'c2 a0' 3. 输入方法 在Windows下可以使用直…
阅读全文一个VSCode插件：支持TikZ预览
1. 起因 我的博客文章里面的插图大部分都是使用TikZ画的，而这个没有办法直接预览，就导致我需要在多个编辑器之间不断切换。 大致流程是这样的： 使用VSCode写文章的主体。（可以自动在编辑LaTeX的时候切换中英文） 期间使用VSCode写单独的TikZ代码。（可以自动补全TikZ函数） 同时使用KtikZ预览TikZ代码。（可以实时预览图片，方便修正语法错误和微调） 之后利用pdf2svg将TikZ代码转化成SVG图片，然后插入到文章中 最后利用Typora预览整个文章。（可以正确显示图片） 之前我使用Vibe Coding搓了一个插件，让VSCode的Markdown预览和鼠标悬停预览能够识别文档顶部的YAML元数据中的ty…
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13在Neovim中支持LuaLaTeX高亮
1. 遇到的问题 我的博客文章里面的几何图形的源代码很多都使用了tkz-elements宏包。它利用Lua代码来求点的坐标，详细介绍见之前的文章。 tkz-elements的缺点就是它的一些高级API还不稳定。 例如，这次我就发现之前写的很多代码都没法正常编译了，细查原来是它的c_l_pp函数（过直线外两点作与已知直线相切的圆）的语法变了。 不过在使用Neovim查看源代码的时候有一个问题，就是\directlua内部的Lua代码无法正确高亮。 最近在升级nvim-treesitter的时候，发现Neovim的Tree-sitter支持注入功能（:h treesitter-language-injection），可以在一种语言的源代…
阅读全文2026年全国I卷压轴题的解答
1. 题目 已知函数 f(x)f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}R，且当 x<0x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^xf(x)=2x。对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}x0∈R，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\left\{d\in \mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\right\}D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}。 （1）若当 x⩾0x\geqslant 0x⩾0 时，f(x)=1−xf(x)=1-xf(x)=1−x，求 D(−1)D(-1)D(−1)； （2…
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152026年北京高联预赛的几何题的解答
1. 题目 如图，在锐角 △ABC\triangle ABC△ABC 中，MMM 是 BCBCBC 的中点，DDD、EEE 为 △ABC\triangle ABC△ABC 内两点，满足 DDD 在 △ABM\triangle ABM△ABM的外接圆上，EEE 在 △ACM\triangle ACM△ACM 的外接圆上，且 MD⊥MEMD\perp MEMD⊥ME。延长 MDMDMD、MEMEME 分别交 ACACAC、ABABAB 于 FFF、GGG。已知 DDD、EEE、GGG、FFF 共圆，求证：MDMDMD 平分 ∠AMC\angle AMC∠AMC。 2. 分析 这个题最直接的做法就是用三角来算，思路简单，但是计算稍微有些麻…
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16垂足三角形、等角共轭点与「六点圆」
起因 我在使用Qwen3.7-Max重测今年USAMO第5题的时候，发现它找到了一个之前AI都没有发现的结论：点 NNN 是 KKK 关于 △OAOBOC\triangle O_A O_B O_C△OAOBOC 的等角共轭点。 这其实是一个一般成立的结论： 设点 KKK 关于 △OAOBOC\triangle O_AO_BO_C△OAOBOC 三边的对称点为 DDD、EEE、FFF，则 △DEF\triangle DEF△DEF 的外心 NNN 是点 KKK 关于 △OAOBOC\triangle O_AO_BO_C△OAOBOC 的等角共轭点。 我在看到这个题的时候，由于解得比较快，加之当时主要是想找一个难度合适…
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17本地部署 Hy-MT2 翻译模型
最近，官方新释出了GGUF版本的Hy-MT2-30B-A3B模型，我又对它进行了测试。 运行命令如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 llama-server.exe ` -m "Hy-MT2-30B-A3B-Q4_K_M.gguf" ` --alias "tencent/Hy-MT2-30B-A3B-GGUF" ` -c 4096 ` --port 1134 ` --fit on ` --cache-type-k q8_0 ` --cache-type-v q8_0 ` --temperature 0.7 ` --top-p 1.0 ` --top-k -1 ` --repeat-p…
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18Vibe Coding一个Python版本的pdf2svg
我的博客里面的插图很多都是用Tikz写的，然后编译成PDF再转换为SVG，具体的流程见之前的文章。 这里面关键的一步就是如何将PDF转换为SVG。 我能找到的唯一一个工具就是pdf2svg，但是它非常简单，而且并不完全符合我的需要。 例如，我发现直接生成的SVG图片太小了，需要放大到1.5倍，里面的字母才会和正文中的字母大小基本一致。这就必须要修改源代码才能解决： pdf2svg-0.2.4-change-svg-size.patch 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 diff --git a/pdf2svg.c b/pdf2svg.c index cb5a3ae.…
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192026 年 USAMO 的几何题的解答（一）
1. 题目 Let ABCABCABC be a triangle. Points DDD, EEE, and FFF lie on sides BCBCBC, CACACA, and ABABAB, respectively, such that ∠AFE=∠BDF=∠CED. \angle AFE=\angle BDF=\angle CED.∠AFE=∠BDF=∠CED. Let OAO_AOA, OBO_BOB, and OCO_COC be the circumcenters of triangles AFEAFEAFE, BDFBDFBDF, and CEDCEDCED, respectively. Let MMM,…
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20使用天地图API进行坐标反查
我习惯使用奥维地图进行旅行规划。但是奥维地图的搜索系统并不是很好使，特别是一些比较「野」的地方，很多名字都搜不着。 这个时候，就需要借助于坐标拾取器来进行搜索。常用的几个地图的坐标拾取器链接如下： 高德：https://lbs.amap.com/tools/picker（未认证用户只能获取小数点后两位的坐标） 新版的高德地图直接支持坐标拾取功能，不登录也能用，精度为小数点后六位 百度：https://lbs.baidu.com/maptool/getpoint（未认证用户只能获取小数点后两位的坐标） 腾讯：https://lbs.qq.com/getPoint 谷歌：https://www.google.com/maps（搜索后直接…
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