雅可比猜想被AI推翻——世界杯决赛夜，Fable一脚踢翻了85年的数学猜想

发布时间：2026-07-20 16:00:00

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2026年7月，Anthropic 研究员、哈佛前Junior Fellow Levent Alpöge 在 X 平台上发了一条推文——一个显式的多项式映射，雅可比行列式为常数 −2，却有三个不同的原像映射到同一个点。这意味着，雅可比猜想（Jacobian Conjecture）被证伪了。

更有趣的是，这个反例是他在世界杯决赛期间，随口问了一句 AI 模型 Fable，然后 Fable 就给他吐出来了。

在数学界，大多数著名的未解问题——黎曼猜想、P vs NP，别说理解了，你连问题陈述都未必能读下来。但雅可比猜想是个异类。

雅可比猜想（1939年由 Ott-Heinrich Keller 提出，后经 Shreeram Abhyankar 推广）问的是这样一个问题：

用更直白的话说：在微积分里，如果一元函数的导数处处不为零，那它局部可逆。在多元情况下，如果雅可比行列式（导数的多元版本）是一个处处非零的常数，那这个多项式映射是否全局可逆，而且逆映射也是多项式？

这听起来非常“理所当然”。毕竟线性代数里，矩阵行列式非零就意味着可逆——这就是 Cramer 法则。雅可比猜想本质上是在问：Cramer 法则能不能推广到多项式？

这个猜想在数学界的分量不轻。它是 Steve Smale 列出的21世纪最重要的18个数学问题之一。更有意思的是，张益唐（就是那位证明了孪生素数猜想弱形式的传奇数学家）的博士论文，据说就是因为依赖了一个与雅可比猜想相关的错误引理而整个垮掉。我现在在知乎看相关问题都是在讨论张益唐 :)

话不多说，直接上反例。定义多项式映射 F:ℂ3→ℂ3：

F(x,y,z)=((1+xy)3z+y2(1+xy)(4+3xy),y+3x(1+xy)2z+3xy2(4+3xy),2x−3x2y−x3z)

就这三行。没有深层数论，没有无穷级数，没有抽象代数几何——就是三个你能在大一微积分作业里看到的多项式。

这个映射有两个关键性质：

第二条直接证伪：雅可比行列式为常数非零，但映射不可逆（因为不单射，不可能有多项式逆映射）。

说实话，这个反例最让我感动的不是它推翻了猜想，而是它的验证简单到任何人都能算。不像之前的单位距离猜想那样命题简单但完全看不懂证明证伪，但这个的证伪过程非常简单，包括已经遗忘很多高数的大学生。不用上 arXiv，不用懂深入的代数几何，拿张草稿纸就能算。

需要验证三个不同的点都映射到 (−14,0,0)：

P1=(0,0,−14)P2=(1,−32,132)P3=(−1,32,132)

对于 (0,0,−14)，xy=0，1+xy=1：

f1=13⋅(−14)+0=−14f2=0+0+0=0f3=0−0−0=0

P1↦(−14,0,0)。算完你可能怀疑这反例是凑出来的——没错，它就是凑出来的。

对于 (1,−32,132)，先算中间量：

xy=1⋅(−32)=−32,1+xy=−12

(1+xy)2=14,(1+xy)3=−18

y2=94,4+3xy=4−92=−12

代入 f1：

f1=(−18)⋅132+94⋅(−12)⋅(−12)=−1316+916=−416=−14

代入 f2：

f2=−32+3⋅1⋅14⋅132+3⋅1⋅94⋅(−12)=−32+398−278=−128+398−278=0

代入 f3：

f3=2⋅1−3⋅12⋅(−32)−13⋅132=2+92−132=42+92−132=0

P2↦(−14,0,0)。

对于 (−1,32,132)，xy=−1⋅32=−32，1+xy=−12，与 P2 相同。因此依赖 u=1+xy 的项完全一致。

f1（只依赖 y2 和 u，不依赖 y 的符号）：

f1=−1316+916=−14(与 P2 完全相同)

f2（x=−1 导致关键项的符号翻转）：

f2=32+3⋅(−1)⋅14⋅132+3⋅(−1)⋅94⋅(−12)=32−398+278=128−398+278=0

f3（x=−1，x2=1，x3=−1）：

f3=2⋅(−1)−3⋅1⋅32−(−1)⋅132=−2−92+132=−42−92+132=0

P3↦(−14,0,0)。

三个不同的点，全部映射到同一个像。

这不光是“不单射”：这是一个三对一的碰撞。没了单射性，多项式逆就不存在；多项式逆不存在，雅可比猜想就死了。

以上验证过程可以用 Lean 4 形式化。把多项式映射定义清楚，然后用 #eval 交给内核求值器计算：

要完整验证，还得确认雅可比行列式确实是常数 −2。雅可比矩阵 JF∈ℂ3×3：

JF=[∂f1∂x∂f1∂y∂f1∂z∂f2∂x∂f2∂y∂f2∂z∂f3∂x∂f3∂y∂f3∂z]

令 u=1+xy，v=4+3xy，逐项求导：

∂f1∂x=3y(1+xy)2z+y3(7+6xy)∂f1∂y=3x(1+xy)2z+2y(1+xy)(4+3xy)+xy2(7+6xy)∂f1∂z=(1+xy)3∂f2∂x=3(1+xy)2z+6xy(1+xy)z+3y2(4+3xy)+9xy3∂f2∂y=1+6x2(1+xy)z+6xy(4+3xy)+9x2y2∂f2∂z=3x(1+xy)2∂f3∂x=2−6xy−3x2z∂f3∂y=−3x2∂f3∂z=−x3

这九个偏导代入 3×3 行列式公式后，几乎所有项都互相抵消。你可以在 SymPy、Mathematica 甚至让 GPT 帮你展开。结果是：

det⁡(JF)=−2

一个非零常数，完美满足雅可比猜想的条件。但映射却不单射——猜想被推翻。

行列式恒等式同样可以丢给 Lean 验证。由于没装 Mathlib，无法使用 Matrix.det，AI 改用 3×3 行列式显式展开公式——本质一模一样：

以上四个 #eval 结果均为 -2。对于多项式恒等式，在足够多的点上验证等价于代数恒等式。如果装了 Mathlib，原教旨写法是用 Matrix.det + native_decide 做全称量化证明（∀ x y z），但手里没榔头不代表钉子敲不进去。

行，验证完了，来聊点更有趣的。说实话，这个反例的出现方式，本身就堪称数学史上的一个行为艺术。

85年来，世界上最聪明的数学家们——包括 Smale、Abhyankar、Mumford 这些泰斗级人物——前仆后继地尝试证明或推翻这个猜想，发表了无数论文。有人试图证明 n=2 时猜想成立，有人试图推广到更高维。

结果呢？一个 AI 在足球赛中场休息时就把反例吐出来了。

你知道这意味着什么吗？Alpöge 甚至没有专门坐下来“做研究”——他只是在看球赛的间隙，出于无聊，随口问了 AI 一句。这在数学史上大概是前无古人的：一个85年悬案，死于世界杯决赛夜的沙发消遣。 或者说，这个反例的难度可能是某个大一学生就能灵机一动出来的，但时间等不及了，AI 给出来了。

仔细看一下这组多项式：

你说它“丑”吧，确实丑——没人会凭空写出这种多项式。你说它“美”吧，每一项都恰到好处地让 3×3 行列式中的巨量复杂项互相抵消，最终剩下一个干干净净的 −2。

这种“丑陋的优雅”，说实话，非常符合 AI 的风格——它不在乎式子好不好看，只在乎能不能通过计算。

最绝的是那三个碰撞点：

(0,0,−14),(1,−32,132),(−1,32,132)

注意 P2 和 P3 的对称性——x 和 y 的符号同时翻转，而 f1 中 y 只以 y2 出现、f2 和 f3 中的符号翻转被精确抵消，于是这两个看起来“对称”的点被映射到了完全相同的像。

这种精巧的对称性，你要说是人设计出来的我信，你要说是 AI 暴力搜索出来的……我也信。毕竟对 AI 来说，“构造一个满足这些约束的多项式”就是把问题丢进搜索空间然后等几秒钟的事情。

AI 时代，“被吓到眩晕瘫坐在椅子上，那一刻就像看到原子弹爆炸” 这个不断在数学界发生，当然这个已经在计算机领域出现到令人无感了，但我想说AI的智力工程能力才刚刚开始……

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